toán thù cao cấp Không gian vector Những bài tập ma trận bài xích tập tuyến đường tính ma trận phức Đại số đại cương cứng

Bạn đang xem: Access to this page has been denied

*
pdf

Đề thi cuối học tập kỳ II năm học 2015-năm 2016 môn Toán cao cấp (Đề số 1) - ĐH Ngoại ngữ


*
pdf

Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 2 - Nguyễn Văn uống Thùy


Xem thêm: Moor Là Gì Trong Tiếng Việt? Moor Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt

*
ppt

Calculus và its applications: 6.3


Nội dung

1. Không gian vectorProblem 1.1. Giả sử A là 1 trong những ma trận vuông cấp cho n, cùng C(A) = BA = AB là tập hợptoàn bộ những ma trận vuông phức cấp n giao hoán thù được với A. Chứng minh rằng: C(A) là khônggian vector nhỏ của không khí vector Mn×n và dyên ổn C(A) ≥ n.Hint. Xét ánh xạ tuyến đường tính:T : Mn×n −→ Mn×nB 7→ AB − BA.khi đó S = ker T là không khí vector bé của không gian các ma trận Mn×n . Để ý rằng, nếuC là ma trận khả nghịch thìAB = BA−1−1−1Lúc và chỉ còn khi C ACC BC = C BCC −1 AC. Nếu D1 , . . . , Dn là những ma trận tự do tuyếntính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 Dn C cũng độc lập đường tính. Do kia để đơn giản và dễ dàng ta trả sử A gồm dạngJordan, với một khối Jordan thiết bị i cung cấp k là:a 1 ... 0 ... ... .Ai = 0a 100akhi đó Ai giao hân oán vớib1Bi = 00b2 . . . bk.. .....b b 120b1Do kia A giao hoán thù vớiB1..B=..BrVì trong B tất cả n biến bắt buộc dim C(A) ≥ n.♥Problem 1.2. Cho S là không gian nhỏ của không gian Mn (C) sinc vày tập toàn bộ các ma trậngồm dạng AB − BA. Chứng minc rằng: dyên ổn S = n2 − 1.Hint. Ta yêu cầu chỉ ra rằng S gồm n2 − 1 vector hòa bình tuyến đường tính. Đó là các ma trận: Mij = Mik Mkj −Mkj Mik , i 6= j (tất cả n2 − n phần tử)M11 − Mjj = Mij Mj1 − Mj1 Mij , j 6= 1 (bao gồm n − một phần tử), trong các số đó ma trận Mij là ma trậnbao gồm phần tử 1 ở vị trí ij, những địa điểm không giống những bằng 0. Do đó dyên S ≥ n2 − 1, mặt khác S 6= Mn×nphải dyên ổn S 0 nên α là số chẳn. Vậydet(I + 2P.. ) > 0, hay (ai ) và (ai + 2bi ) cùng phía cùng nhau.♥Problem 1.6. Cho V là không gian vector n chiều với W là một trong không khí con m chiều củaV , (m dlặng U + dim V .Chứng minc rằng tồn tại các số λ1 , λ2 , . . . , λk không đồng thời bằng 0 sao chokXλi u i =i=1kXλi vi = 0.i=1Khẳng định trên còn đúng không ạ ví như k ≤ dyên ổn U + dim V.Hint. Chụ ý rằng ta bao gồm đối kháng cấu U × V −→ W bắt buộc số chiều của U × V không thực sự n.♥Problem 1.21. Cho f là nhiều thức thông số thực tất cả bậc n > 0 với p0 , p1 , p2 , . . . , pn là những đa thứchệ số thực cùng có bậc dương. CMR, trường thọ những số thực a0 , a1 , a2 , . . . , an không mặt khác bằngnXko làm sao cho đa thức Q(x) =ai (pi (x))i chia hết mang lại f .i=0Problem 1.22. Cho V là 1 trong không gian vector bên trên trường vô hạn K và V1 , V2 , . . . , Vn là cáckhông khí vector con của V. Giả sửn. Chứngminh rằng f1 , f2 , . . . , fn phụ thuộc vào con đường tính Khi và chỉ khiRdet ab fi (x)fj (x)dx = 0. 9Hint. Xét tích vô phía bên trên C xác minh bởiZ bf (x)g(x)dx.hf, gi =aTa gồm C là không khí Euclid vàdetRbafi (x)fj (x)dxchính là định thức Gram của hệ vector f1 , f2 , . . . , fn . Từ kia suy ra điều buộc phải minh chứng. ♥Problem 2.12. Ký hiệu M2 (R) là không gian các ma trận vuông thực cung cấp 2. Cho1 22 1A=,B=.−1 30 4Xét phxay thay đổi tuyến tính L : M2 (R) −→ M2 (R) khẳng định bởi L(X) = AXB. Hãy tính vếtvới định thức của L.Hint. Xét những ánh xạ tuyến tínhLA (X) = AXLB (X) = XB.Ma trận của LA với LB lần lược là:=1 0 01MA =  −1 00 −120302 001 42 M =0  B 0 00 03002100.04Suy ra det L = det LA . det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24Problem 2.13. Ký hiệu M3 (R) là không khí các1 0A= 0 trăng tròn 0♥ma trận vuông thực cung cấp 3. Cho0011Xét phnghiền chuyển đổi tuyến tính L : M3 (R) −→ M3 (R) xác minh vị L(X) = (AX + XA). Hãy2tính định thức của L.Hint. Lấy X = (xij ), ta có:x11 23 x123L(X) =  2 x21 2x22x31 32 x32x133x .2 23x33381Dễ thấy từng ma trận Mij phần lớn là vector riêng rẽ của L. Suy ra det L = 2.( )4 = .28♥Problem 2.14. Ký hiệu M3 (R) là không gian những ma trận vuông thực cấp 3. Giả sử A ∈M3 (R), det A = 32 và đa thức buổi tối đái của A là (λ − 4)(λ − 2). Xét ánh xạ tuyến tính: LA :M3 (R) −→ M3 (R) khẳng định bởi LA (X) = AX. Hãy tính vệt của LA .Problem 2.15. Ký hiệu M7 (R) là không gian những ma trận vuông thực cấp cho 7. Giả sử A ∈ M7 (R)là 1 ma trận chéo cánh cùng với đường chéo thiết yếu bao gồm 4 hạng tử +1 với 3 hạng tử -1. Xét ánh xạ tuyếntính LA : M7 (R) −→ M7 (R) khẳng định bởi LA (X) = AX − XA. Hãy tính rank LA .Problem 2.16. Cho F là một ngôi trường, n với m là nhị số nguyên ổn, Mm×n là không gian những matrận cấp cho m × n bên trên trường F . Giả sử A cùng B là nhì ma trận cố định và thắt chặt của Mm×n . Xét ánh xạtuyến đường tính L : Mm×n −→ Mm×n xác định vì L(X) = AXB. Chứng minh rằng nếu m 6= n thìL suy biến. 10Hint. Trường hợp m > n. Ta viết T = T1 ◦ T2 , trong đó T2 : Mn×m −→ Mn×n được xác địnhbởi: T2 (X) = XB và T1 : Mn×n −→ Mm×n được đến bởi: T1 (Y ) = AY . Vì dlặng Mn×m = nm >n2 = dyên ổn Mn×n đề xuất T2 không đơn ánh, suy ra T cũng không đối chọi ánh tốt T ko khả nghịch.Trường đúng theo m
Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *